Question

如圖，△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于D，⊙O過點A，且和BC切于D，和AB、AC分別交于E、F．設EF交AD于G，連接DF．
（1）求證：EF∥BC；
（2）已知：DF=2，AG=3，求的值．

Answer 1

（1）證明：∵⊙O切BC于D，
∴∠4=∠2，
又∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴EF∥BC；

（2）解：∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
又∵∠5=∠5，
∴△ADF∽△FDG，
∴，
設GD=x，則，
解得x₁=1，x₂=-4，經(jīng)檢驗x₁=1，x₂=-4為所列方程的根，
∵x₂=-4＜0應舍去，
∴GD=1由（1）已證EF∥BC，
∴．
分析：（1）由切線的性質(zhì)知∠4=∠2，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的判定定理求出EF∥BC；
（2）因為EF∥BC，求出△ADF∽△FDG，根據(jù)其相似比即可解答．
點評：主要考查的是相似三角形判定和性質(zhì)的應用，切線的性質(zhì)，以及解分式方程．