Question

已知，正方形OA₁P₁B₁和正方形A₁A₂P₂B₂的頂點(diǎn)P₁、P₂都在函數(shù)y=

4

x

（x＞0）的圖象上，頂點(diǎn)A₁、A₂在x軸上（正方形是正正放的，不是斜的）．求：
（1）點(diǎn)P₁和點(diǎn)P₂的坐標(biāo)；
（2）以P₁為頂點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出A₁P₁=P₁B₁，由A₂P₂=P₂B₂，設(shè)出P₁、P₂的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出頂點(diǎn)式，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得拋物線解析式即可．

解答：解：（1）如圖，

正方形OA₁P₁B₁中，A₁P₁=P₁B₁，
設(shè)P₁的坐標(biāo)為（x，x），在函數(shù)y=

4

x

（x＞0）的圖象上，
則x²=4，解得x=2，x=-2（不合題意）
所以點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，2），
設(shè)P₂的坐標(biāo)為（x+2，x），在函數(shù)y=

4

x

（x＞0）的圖象上，
則x²+2x=4，解得x=

5

-1，x=-

5

-1（不合題意），
所以點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（

5

+1，

5

-1）．
（2）以P₁為頂點(diǎn)的拋物線的解析式y(tǒng)=a（x-2）²+2，代入（0，0）得
4a+2=0，
解得a=-

1

2

，
所以以P₁為頂點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的解析式y(tǒng)=-

1

2

（x-2）²+2．

點(diǎn)評：此題考查正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．