Question

13．如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}$BC，連接OE．下列結論：①∠CAD=30°；②S_?ABCD=AB•AC；③OB=AB；④∠COD=60°，成立的個數(shù)有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等邊三角形，由于AB=$\frac{1}{2}$BC，得到AE=$\frac{1}{2}$BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正確；由于AC⊥AB，得到S_?ABCD=AB•AC，故②正確，根據(jù)AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③錯誤；根據(jù)題意得出故④不正確；即可得出結果．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正確；
∵AC⊥AB，
∴S_?ABCD=AB•AC，故②正確，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③錯誤；④不正確；
∵若∠COD=60°，
則∠ADO=60°-30°=30°=∠CAD，
∴OA=OD，
∴AC=BD，矛盾，
故④不正確．
故選：B．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關鍵．