Question

15．已知，某一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A（1，3），B（m，1），求：
（1）m的值與一次函數(shù)的解析式；
（2）△ABO的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=ax+b（k≠0），y=$\frac{k}{m}$（k≠0），將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，再將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出m的值，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)一次函數(shù)與x軸交于C點(diǎn)，求出C坐標(biāo)，三角形AOB的面積=三角形AOC-三角形BOC的面積，求出即可．

解答 解：（1）設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=ax+b（k≠0），y=$\frac{k}{m}$（k≠0），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{m}$（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{x}$，
∵點(diǎn)B（m，1）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴1=$\frac{3}{m}$
∴m=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），
∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，
將這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b，得$\left\{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{1=3a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
則所求一次函數(shù)的解析式為y=-x+4；

（2）設(shè)一次函數(shù)y=-x+4的圖象交x軸于點(diǎn)C，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），即OC=4，
∵A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
∴S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•3-$\frac{1}{2}$OC•1=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點(diǎn)評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及三角形的面積求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．