Question

18．如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，…∠A_n-1BC的平行線與∠A_n-1CD的平分線交于點(diǎn)A_n，設(shè)∠A=θ，則∠A_n=$\frac{θ}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，從而判斷出后一個(gè)角是前一個(gè)角的$\frac{1}{2}$，然后表示出，∠A_n即可．

解答 解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A₁，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{θ}{4}$=$\frac{θ}{{2}^{2}}$，
…，
∠A_n=$\frac{θ}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{θ}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的$\frac{1}{2}$是解題的關(guān)鍵．