Question

如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）若D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM=DN；
（2）若DM⊥DN分別和BA、AC延長(zhǎng)線交于M、N，問(wèn)DM和DN有何數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：常規(guī)題型

分析：（1）連接AD，可得∠ADM=∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM=DN；
（2）連接AD，可得∠ADM=∠CDN，可證△AMD≌△CND，可得DM=DN．

解答：解：（1）連接AD，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴AD=BD，∠BAD=∠C，

∵∠ADM+∠ADN=90°，∠ADN+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△AMD和△CND中，

∠ADM=∠CDN AD=CD ∠BAD=∠C

，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．
（2）連接AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD=BD，∠BAD=∠C，

∵∠ADM+∠MDC=90°，∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
∵∠MAD=MAC+DAC=135°，∠NCD=180°-∠ACD=135°
在△AMD和△CND中，

∠ADM=∠CDN AD=CD ∠MAD=∠NCD

，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AMD≌△CND是解題的關(guān)鍵．