Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．
如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)、DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4.5）解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使面積y最��？若存在，求出y的最小值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個(gè)線段即可得解；
（2）作PM⊥BC，將四邊形的面積表示為S_△ABC-S_△BPE即可求解；
（3）假設(shè)存在符合條件的t值，由相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，
∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由題意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8-t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
則AP=10-2t；
∴10-2t=8-t；
解得：t=2；
答：當(dāng)t=2s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）過(guò)P作PM⊥BE，交BE于M
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=

AC

AB

=

PM

BP

，
∴

PM

2t

=

8

10

；
∴PM=

8

5

t；
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t；
∴y=S_△ABC-S_△BPE=

1

2

BC•AC-

1

2

BE•PM=

1

2

×6×8-

1

2

×(6-t)×

8

5

t
=

4

5

t2-

24

5

t+24=

4

5

(t-3)2+

84

5

；
∵a=

4

5

＞0，
∴拋物線開(kāi)口向上；
∴當(dāng)t=3時(shí)，y_最小=

84

5

；
答：當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為

84

5

cm²．

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上；
過(guò)P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC；
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

；
∴

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

；
∴PN=6-

6

5

t，AN=8-

8

5

t；
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一條直線上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

；
∵0＜t＜4.5，∴

6- 6 5 t

9-t

=

3

5

；
解得：t=1；
答：當(dāng)t=1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、特殊圖形的面積的求法等知識(shí)，圖形較復(fù)雜，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．