Question

2．已知，如圖1，AD∥BC，∠A=∠BCD，點E是射線BC上一動點，試回答下列問題：
（1）求證：AB∥CD；
（2）如圖2，若點E在B、C兩點之間時，DM平分∠ADE，DN平分∠CDE，試探索∠NDN與∠B的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下．點E在點C右側(cè)時，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請說明理由：若不成立，求∠MDN與∠B的比值．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC得∠A+∠B=180°，根據(jù)∠A=∠BCD知∠BCD+∠B=180°，得證；
（2）根據(jù)AD∥BC、AB∥CD得∠ADC=∠B，由角平分線知∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE、∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，將∠MDE+∠NDE可得；
（3）根據(jù)AD∥BC、AB∥CD得∠ADC=∠B，由角平分線知∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE、∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，將∠MDE-∠NDE可得．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=∠BCD，
∴∠BCD+∠B=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠MDN=$\frac{1}{2}$∠B，
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
又∵∠BCD+∠B=180°，
∴∠ADC=∠B，
∵DM平分∠ADE，DN平分∠EDC，
∴∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE，∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，
∴∠MDE+∠NDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
即∠MDN=$\frac{1}{2}$∠B；
（3）仍然成立，
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
又∵∠BCD+∠B=180°，
∴∠ADC=∠B，
∵DM平分∠ADE，DN平分∠EDC，
∴∠MDE=$\frac{1}{2}$∠ADE，∠NDE=$\frac{1}{2}$∠EDC，
∴∠MDE-∠NDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
即∠MDN=$\frac{1}{2}$∠B．

點評 本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是基礎(chǔ)，將待求角度轉(zhuǎn)化成其他角的和、差是解題關(guān)鍵．