Question

20．已知：AB∥CD∥EF，E為AC中點(diǎn)，AC∥BD，如圖1所示，易證2EF=AB+CD
（1）若AC與BD不平行，其它條件不變，如圖2、圖3，則在圖2、圖3兩種情況下，線段EF，AB，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并對(duì)其中一種情況給予證明；
（2）若∠C=∠D=60°，AB=3，EF=6，則AB與CD之間的距離為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）作BH∥AC交CD于H，交EF于G，由已知得到2EG=AB+CH，根據(jù)三角形中位線定理得到GF=$\frac{1}{2}$DH，計(jì)算即可；
（2）作BR∥AC交CD于R，作BP⊥CD于P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CR=AB=3，求出RB，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

解答 （1）如圖2，2EF=AB+CD，
證明：作BH∥AC交CD于H，交EF于G，
由已知得，2EG=AB+CH，
∵AB∥CD∥EF，E為AC中點(diǎn)，
∴F是BD的中點(diǎn)，
∴GF是△BFD的中位線，
∴GF=$\frac{1}{2}$DH，
∴EF=EG+GF=$\frac{1}{2}$（AB+CH）+$\frac{1}{2}$DH，
∴2EF=AB+CD，
如圖3，2EF=CD-AB；
（2）如圖4，作BR∥AC交CD于R，作BP⊥CD于P，
∴四邊形ACRB是平行四邊形，
∴CR=AB=3，
∴RD=CD-CR=3，
∵∠C=60°，BR∥AC，
∴∠BRD=∠C=60°，又∠D=60°，
∴△BRD是等邊三角形，
∴BP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AB與CD之間的距離為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是梯形的中位線定理、三角形的中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．