Question

15．已知x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且x⁵=a+b$\sqrt{5}$，這里a，b均為有理數，則a+b=-3．

Answer 1

分析 根據x的值計算出x²的值，將x⁵分解成x²•x²•x計算其值，根據題意可得a、b的值，進而可得答案．

解答 解：∵x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴x²=$\frac{（\sqrt{5}-1）^{2}}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴x⁵=x²•x²•x=（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²•$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=-$\frac{19}{4}$+$\frac{7}{4}\sqrt{5}$，
又∵x⁵=a+b$\sqrt{5}$，且a，b均為有理數，
∴a=-$\frac{19}{4}$，b=$\frac{7}{4}$，
則a+b=-$\frac{19}{4}$+$\frac{7}{4}$=-3，
故答案為：-3．

點評 本題主要考查因式分解的應用能力，這里利用因式分解達到降冪目的是解題關鍵，對有理數性質得掌握是解題的根本．