Question

如圖，若直線y=-x+16交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)A（m，m）在直線DE上，雙曲線y=

k

x

與直線AO交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求k的值；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，交DE于點(diǎn)C，若F（0，-16），連接AF交BC于點(diǎn)H，求證：OH+AH=OC；
（3）如果點(diǎn)Q為第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持∠AQB=90°，若AQ交y軸于M，BQ交x軸于N，則下列結(jié)論：①AM²+BN²=MN²；②AM+BN=MN，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)判斷正確結(jié)論并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，先把點(diǎn)A（m，m）代入y=-x+16中求出m，則可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算k的值；
（2）過(guò)C作CM⊥x軸于M，過(guò)A作AN⊥y軸于N，如圖2，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，-8），則利用C點(diǎn)在直線y=-x+16上課確定C點(diǎn)的坐標(biāo)為（24，-8），再利用B點(diǎn)和F點(diǎn)坐標(biāo)可判斷BC垂直平分OF，則HO=HF，所以O(shè)H+AH=HF+AH=AF，然后利用“SAS”證明△ANF≌△CMO，則AF=OC，于是得OH+AH=OC；
（3）截取OP=OM，連接BP、NP，如圖3，先利用“SAS”證明△OAM≌△OBP，得到∠OAM=∠OBP，AM=BP，OM=OP，易得AQ∥BP，NO垂直平分MP，所以∠QBP=∠AQB=90°，MN=NP，然后在Rt△BNP中，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)勾股定理可對(duì)①進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（m，m）在直線y=-x+16上，
∴m=-m+16，解得m=8，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8），
∵A（8，8）在函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=8×8=64，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

；
（2）過(guò)C作CM⊥x軸于M，過(guò)A作AN⊥y軸于N，如圖2，
∵雙曲線y=

k

x

與直線AO交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，-8），
∵BC⊥y軸，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-8，
把y=-8代入y=-x+16得-x+16=-8，解得x=24，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（24，-8），
∵B（-8，-8），F(xiàn)（0，-16），
∴BC垂直平分OF，
∴HO=HF，
∴OH+AH=HF+AH=AF，
∵FN=ON+OF=8+16=24，
∴OM=NF，
在△ANF和△CMO中，

AN=CM ∠ANF=∠CMO NF=MO

，
∴△ANF≌△CMO（SAS），
∴AF=OC，
∴OH+AH=OC；
（3）①正確．
截取OP=OM，連接BP、NP，如圖3，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴OA=OB，
在△OAM和△OBP中，

OA=OB ∠AOM=∠BOP OM=OP

，
∴△OAM≌△OBP（SAS），
∴∠OAM=∠OBP，AM=BP，OM=OP，
∴AQ∥BP，NO垂直平分MP，
∴∠QBP=∠AQB=90°，MN=NP，
在Rt△BNP中，
∵BN+BP＞NP，
∴AM+BN＞MN，所以②錯(cuò)誤；
∵BP²+BN²=NP²，
∴AM²+BN²=MN²，所以①正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理；會(huì)運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決線段相等和角相等的問(wèn)題；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．