Question

5．已知方程3x²-x-3=0的兩根為x₁和x₂，不解方程求下列各式的值
（1）x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$；
（2）|x₁-x₂|；
（3）x${\;}_{1}^{3}$+x${\;}_{2}^{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出“x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，x₁•x₂=-1”，再將（1）（2）（3）中算式變形為只含兩根之和與兩根之積的形式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 解：∵方程3x²-x-3=0的兩根為x₁和x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{3}$，x₁•x₂=-1．
（1）${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=$（\frac{1}{3}）^{2}$-2×（-1）=$\frac{19}{9}$；
（2）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{3}）^{2}-4×（-1）}$=$\frac{\sqrt{37}}{3}$；
（3）${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$=（x₁+x₂）（${{x}_{1}}^{2}$-x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$）=（x₁+x₂）[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-3x₁•x₂]=$\frac{1}{3}$×[$（\frac{1}{3}）^{2}$-3×（-1）]=$\frac{28}{27}$．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）將算式變形為$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂；（2）將算式變形為$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$；（3）將算式變形為（x₁+x₂）[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-3x₁•x₂]．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和、兩根之積是關(guān)鍵．