Question

一只螞蟻在立方體的表面積爬行．
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)螞蟻從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B，怎樣爬行路線(xiàn)最短？說(shuō)出你的理由．
（Ⅱ）如圖1，如果螞蟻要從邊長(zhǎng)為1cm的正方體的頂點(diǎn)A沿最短路線(xiàn)爬行到頂點(diǎn)C，那么爬行的最短距離d的長(zhǎng)度應(yīng)是下面選項(xiàng)中的
（A）1cm＜l＜3cm　 （B）2cm　　　 （C）3cm
這樣的最短路徑有________條．
（Ⅲ）如果將正方體換成長(zhǎng)AD=2cm，寬DF=2cm，高AB=1.5cm的長(zhǎng)方體（如圖2所示），螞蟻仍需從頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)E的位置，請(qǐng)你說(shuō)明這只螞蟻沿怎樣路線(xiàn)爬行距離最短？為什么？（可通過(guò)畫(huà)圖測(cè)量來(lái)說(shuō)明）

Answer 1

6
分析：（I）根據(jù)線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，求出即可；
（II）根據(jù)圖形可得出最短路徑為，進(jìn)而得出答案即可；
（Ⅲ）將立方體采用兩種不同的展開(kāi)方式得出最短路徑即可．
解答：解：（I）如圖1所示，沿線(xiàn)段AB爬行即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；
（II）如圖2所示：1cm＜l＜3cm，
故選A，
路線(xiàn)有6條，如圖2所示：

（III）螞蟻爬行的最短路線(xiàn)是沿面AF和面FC展開(kāi)后所連接的線(xiàn)段AE，
原因：如圖①和圖②所示作圖，分別連接AE，并分別在兩圖中測(cè)量AE的長(zhǎng)，可得圖②中的AE較短．
也可利用勾股定理得出：圖①中AE=cm，圖②中AE=cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．