Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0, 3）、點(diǎn)C（1, 0），等腰Rt△ACB的頂點(diǎn)B在拋物線上.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP是以AC為直角邊的Rt△？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q（點(diǎn)B除外），使△ACQ是以AC為直角邊的等腰Rt△？若存在直接寫(xiě)出所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）P2（、 P3（ （3）不存在.

【解析】試題分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（3）分別從①以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過(guò)點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．

試題解析:

（1）過(guò)B作BD⊥x軸，則△AOC≌△CDB，

∴B（4，1）

將B（4，1）代入 得：

（2）以C為直角頂點(diǎn)時(shí)P是BC與的交點(diǎn),

BC的解析式為; 解得P1（－1，－ ）（其中點(diǎn)B舍去）

以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)A的直線平行于BC，∴易得解析式為, 與拋物線交點(diǎn)：

P2（ 、 P3（

（3）不存在

理由：以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B/(―2,―1)不滿足拋物線解析式

以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，令AQ1＝AC，求得Q1(―3，2) 不滿足拋物線解析式

同理，當(dāng)AQ2＝AC時(shí)，求得Q2（3，4）不滿足拋物線解析式