Question

已知∠AOB=30°，半徑為6cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C．

（1）⊙P移動(dòng)到與邊OB相切時(shí)（如圖），切點(diǎn)為D，求劣弧

CD

的長；
（2）⊙P移動(dòng)到與邊OB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若EF=4

6

cm，求OC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠AOB=30°，半徑為6cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C，利用弧長公式得出弧

CD

的長；
（2）分兩種情況分析，①當(dāng)P在∠AOB內(nèi)部，根據(jù)⊙P移動(dòng)到與邊OB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，利用垂徑定理得出EF=4

6

cm，得出EM=2

6

cm，進(jìn)而得出OC的長．
②當(dāng)P在∠AOB外部，連接PF，PC，PC交EF于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）如圖1，連接PD、PC．
∵∠AOB=30°，半徑為6cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動(dòng)，與邊OA相切的切點(diǎn)記為點(diǎn)C．
∴∠DPC=150°，
∴劣弧

CD

的長為：

150π×6

180

=5πcm；

（2）可分兩種情況，
①如圖2，當(dāng)P在∠AOB內(nèi)部，連接PE，PC，過點(diǎn)P做PM⊥EF于點(diǎn)M，延長CP交OB于點(diǎn)N，
∵EF=4

6

cm，
∴EM=2

6

cm，
在Rt△EPM中，PM=

PE2-EM2

=

62-(2 6 )2

=2

3

cm，
∵∠AOB=30°，
∴∠PNM=60°，
∴PN=

PM

sin60°

=

2 3

3 2

=4，
∴NC=PN+PC=4+6=10cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×cot30°=10

3

cm．
②如圖3，當(dāng)P在∠AOB外部，連接PF，PC，PC交EF于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，
由①可知，PN=3cm，
∴NC=PC-PN=3cm，
在Rt△OCN中，OC=OC=NC×cot30°=3

3

cm．
綜上所述，OC的長為10

3

cm或3

3

cm．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及垂徑定理和弧長計(jì)算公的應(yīng)用．解答（2）題時(shí)，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，要分類討論，以防漏解．