Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是弧BD中點，CE⊥AB于點E，BD交CE于點F．
（1）求證：∠D=∠CBD；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半徑及CE的長．

Answer 1

分析 （1）由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理即可得出結(jié)論；
（2）由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理得出CD=BC=6．由圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，得出OA；由△ABC面積的兩種計算方法求出CE即可．

解答 （1）證明：∵C是弧BD的中點，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$．
∴∠D=∠CBD．
（2）解：∵C是弧BD的中點，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$．
∴BC=CD=6．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=5，
即⊙O的半徑為5．
∵S_△ACB=$\frac{AC•BC}{2}$=$\frac{CE•AB}{2}$，
∴CE=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、圓周角定理、勾股定理、三角形面積的計算方法；由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出BC=CD，再由勾股定理求出AB是解決（2）的關(guān)鍵．