Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx﹣的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)：　（﹣3，4）　；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO（點(diǎn)P不與A、O重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長有最大值，求出這個(gè)最大值；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求得其解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；

（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關(guān)兩個(gè)變量的二次函數(shù)，求最值即可；

（3）分點(diǎn)P位于y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可得到重疊部分的面積．

解答：

解：（1）（﹣3，4）；

（2）設(shè)PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴

∴l(xiāng)=﹣+=﹣（t﹣）²+

∴當(dāng)t=時(shí)，l有最大值

即P為AO中點(diǎn)時(shí)，OE的最大值為；

（3）存在．

①點(diǎn)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，0）

由△PAD∽△OEG得OE=PA=1

∴OP=OA+PA=4

∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1

∴AG==

∴重疊部分的面積==

②當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），

此時(shí)重疊部分的面積為

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，與二次函數(shù)的最值結(jié)合起來，題目的難度較大．