Question

【題目】等腰Rt△AEF（其中FA＝FE，∠AFE＝90°，AE＝6）與正方形ABCD（其中AB＝2）有共同的頂點(diǎn)A，連接CE，點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，連接PB，PF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)求出∠BPF的度數(shù)，并求出PB與PF的長(zhǎng)．

（2）如圖2，把等腰Rt△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E恰好在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①請(qǐng)求出PC的長(zhǎng)．

②判斷PB與PF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．

（3）把等腰Rt△AEF繞點(diǎn)A由如圖1所示的位置逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的位置也隨之改變，請(qǐng)思考點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡，直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程____．（結(jié)果保留π）

Answer 1

【答案】（1）∠FPB＝90°；PF＝；BP＝；（2）①CP＝2﹣1；②PF⊥BP，PF＝BP；（3）3π

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可求CE=2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求BP=PF=，∠FPB=2∠FEA=90°；

（2）①由勾股定理可求DE的長(zhǎng)，即可求CE的長(zhǎng)，由P點(diǎn)是CE中點(diǎn)可求CP的長(zhǎng)；

②過點(diǎn)E作GE∥BC，交BP的延長(zhǎng)線于G，連接FG，BF，由題意可證△GEP≌△BCP，可得BP=GP，GE=BC，即可證△AFB≌△EFG，可得BF=FG，∠AFB=∠EFG，可得△BFG是等腰直角三角形，則PF⊥BP，PF=BP；

③以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，連接AC，BD交于點(diǎn)G．由題意可求點(diǎn)G（1，1），點(diǎn)C（2，2）設(shè)E（x，y），由AE=6，可得x2+y2=36，則可求點(diǎn)P（，），根據(jù)兩點(diǎn)公式可求GP=3，即點(diǎn)P在以G為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)，即可求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程．

解：（1）∵FA＝FE，∠AFE＝90°

∴∠FEA＝45°

∵AB＝2，AE＝6

∴BE＝4

在Rt△BCE中，CE＝＝2

∵∠CFE＝90°，點(diǎn)P是CE中點(diǎn)，

∴PE＝PF＝CP＝，

∴∠PEF＝∠PFE

即∠FPC＝2∠FEP

∵∠CBE＝90°，點(diǎn)P是CE中點(diǎn)

∴BP＝PE＝，

∴∠PEB＝∠PBE

∴∠CPB＝2∠PEB

∵∠FPB＝∠FPC+∠CPB＝2∠FEP+2∠PEB＝2∠FEB

∴∠FPB＝90°

（2）①∵AE＝6，AD＝2

∴由勾股定理可得：DE＝＝4,

∴CE＝DE﹣DC＝4﹣2

∵點(diǎn)P是CE中點(diǎn)

∴CP＝＝2﹣1

②過點(diǎn)E作GE∥BC，交BP的延長(zhǎng)線于G，連接FG，BF，

∵GE∥BC

∴∠BCE＝∠GEP＝90°且CP＝PE，∠BPC＝∠GPE

∴△GEP≌△BCP（AAS）

∴BP＝GP，GE＝BC

∵CD∥AB

∴∠FAB＝∠FME

∵∠FME+∠FED＝90°，∠FED+∠FEG＝90°

∴∠FME＝∠FEG

∴∠FAB＝∠FEG，且GE＝CB＝AB，AF＝EF

∴△AFB≌△EFG（SAS）

∴BF＝FG，∠AFB＝∠EFG

∵∠AFB+∠BFE＝90°

∴∠BFE+∠EFG＝90°

∴∠BFG＝90°且BF＝FG

∴△BFG是等腰直角三角形且BP＝PG

∴PF⊥BP，PF＝BP

（3）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，連接AC，BD交于點(diǎn)G．

∵四邊形ABCD是正方形，AB＝2

∴AB＝2＝BC＝CD＝AD，AG＝CG

∴點(diǎn)C（2，2）且點(diǎn)A（0，0）

∴點(diǎn)G（1，1）

設(shè)E（x，y）

∵AE＝6

∴x2+y2＝36

∵點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，且點(diǎn)C（2，2），點(diǎn)E（x，y）

∴點(diǎn)P（，），

∴GP＝＝＝3

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程＝＝3π

故答案為：3π