Question

1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA，拋物線的對稱軸為直線x=3，且與x軸相交于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，記△PCD的面積為S，是否存在點(diǎn)P使得△PCD的面積最大？若存在，求出S的最大值及相應(yīng)的m值；若不存在請說明理由．
（3）如圖2，連接CD得Rt△COD，將△COD沿x軸正方向以某一固定速度平移，記平移后的三角形為△C′O′D′，當(dāng)點(diǎn)D′到達(dá)B時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，直線BC與△C′O′D′的邊C′O′、C′D′分別相交于G、H，在平移過程中，當(dāng)△O′GH變?yōu)橐設(shè)′H為腰的等腰三角形時(shí)，求此時(shí)BD′的長．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)C，再根據(jù)OC=2OA，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，結(jié)合對稱軸，求出a和b的值即可；
（2）設(shè)直線PC與對稱軸的交點(diǎn)為E，表示出直線PC的解析式和點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)一步得到△PCD的面積關(guān)于m的二次函數(shù)，分析最大值即可；
（3）設(shè)O′（t，0），則D′（t+3，0），C′（t，4），且0＜t+3≤8，解得0＜t≤5，表示出BC，O′H，GH的長度，根據(jù)題意列出方程求解即可．

解答 解：（1）由拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴C（0，4），
∵OC=2OA，
∴OA=2，
∴點(diǎn)A（-2，0），
∵拋物線的對稱軸為：x=3，
∴B（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$，
（2）如圖1：

由題意：點(diǎn)D（3，0），
∴OD=3，
設(shè)P（m，$-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+4$），（m＞0，$-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+4$＞0）
∵C（0，4），
∴直線PC的解析式可表示為：y=$（-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}）x+4$，
設(shè)直線PC與對稱軸的交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（3，$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$），
∴DE=$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$，
∴S_△PCD=（x_P-x_C）×DE×$\frac{1}{2}$=m（$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$-\frac{3}{8}（m-\frac{17}{3}）^{2}+\frac{289}{24}$，
∴當(dāng)m=$\frac{17}{3}$時(shí)，△PCD的面積最大，為$\frac{289}{24}$；
（3）如圖2：

設(shè)O′（t，0），則D′（t+3，0），C′（t，4），且0＜t+3≤8，解得0＜t≤5，
∴直線C′D′：y=$-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}t+4$，①
由（1）知點(diǎn)B（8，0），C（0，4），
易求直線BC：y=$-\frac{1}{2}x+4$，②
聯(lián)立①②求出交點(diǎn)H（$\frac{8}{5}t$，$-\frac{4}{5}t+4$），
當(dāng)x=t時(shí)，則y=$-\frac{1}{2}t+4$，
∴G（t，$-\frac{1}{2}t+4$），
∴O′H=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$，
O′G=$-\frac{1}{2}t+4$，
GH=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（\frac{3}{10}t）^{2}}$，
當(dāng)△O′GH為以O(shè)′H為腰的等腰三角形時(shí)，分情況討論：
①當(dāng)O′H=GH時(shí)，$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（\frac{3}{10}t）^{2}}$，
化簡得：11t²-200+500=0，
解得：t₁=$\frac{40}{11}$，t₂=8（舍去），
∴t=$\frac{40}{11}$，
∴D′（$\frac{73}{11}$，0），
∴BD′=$\frac{15}{11}$，
②當(dāng)O′H=O′G時(shí)，
$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$=$-\frac{1}{2}t+4$，
化簡得：$\frac{3}{4}$t²-$\frac{12}{5}$t=0
解得：t₁=$\frac{16}{5}$，t₂=0（舍去）
∴D′（$\frac{31}{5}$，0），
BD′=$\frac{9}{5}$，
綜上所述，當(dāng)△O′GH變?yōu)橐設(shè)′H為腰的等腰三角形時(shí)，求此時(shí)BD′的值為：$\frac{15}{11}$或$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，并合理分析會代入求函數(shù)解析式，會運(yùn)用二次函數(shù)解決面積最值問題，知道設(shè)點(diǎn)并表示線段，結(jié)合已知列出方程是解題的關(guān)鍵．