Question

如圖，有4個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q、E、F分別從正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點(diǎn)移動(dòng)．
（1）判定四邊形PQEF的形狀；
（2）PE是否總是經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，井說(shuō)明理由；
（3）四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處時(shí)，其面積最小、最大？各是多少？

Answer 1

分析：（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形．（2）證PE是否過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過(guò)定點(diǎn)．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．
∵∠FPQ=90°，
∴四邊形PQEF為正方形；

（2）連接PE，連接AC交PE于O，
∵AP平行且等于EC，
∴四邊形APCE為平行四邊形．
又∵O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴對(duì)角線PE總過(guò)AC的中點(diǎn)；


（3）正方形ABCD與正方形PQEF的對(duì)角線交點(diǎn)是重合的，
當(dāng)OP⊥AB時(shí)，四邊形PQEF面積最小，為原正方形面積的一半，
當(dāng)P與頂點(diǎn)B重合時(shí)，面積最大，其最大面積等于正方形ABCD的面積．

點(diǎn)評(píng)：在證明過(guò)程中，應(yīng)了解正方形和平行四邊形的判定定理，為使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，在證明過(guò)程中，可適當(dāng)加入輔助線．