Question

如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分別為E、F．
（1）求證：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形．

Answer 1

考點：正方形的判定,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)AB是CD的垂直平分線，得到AC=AD，然后利用三線合一的性質(zhì)得到∠CAB=∠DAB即可；
（2）首先判定四邊形AEMF是矩形，然后證得ME=MF，利用鄰邊相等的矩形AEMF是正方形進行判定即可．

解答：（1）證明：∵AB是CD的垂直平分線，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三線合一）；

（2）證明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四邊形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．

點評：本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)的知識，綜合性較強，難度不大．