Question

如圖1，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接CP、CA、CB，且PC²=PA•PB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）如圖2，點(diǎn)D是劣弧AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于E，若⊙O的半徑為6，AB=4

5

，

AC

BC

=

1

3

，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）作直徑CM，連接AM，如圖1，由PC²=PA•PB得到PC：PA=PB：PC，加上∠P=∠P，則可判斷△PAC∽△PCB，得到∠PCA=∠B，根據(jù)圓周角定理得∠B=∠M，所以∠M=∠PCA．再由CM是直徑得到∠MAC=90°，易得∠ACM+∠PCA=90°，即∠PCM=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到PC是⊙O的切線；
（3）連接OD交AB于F，連結(jié)OA，如圖2，根據(jù)垂徑定理，由D是劣弧AB的中點(diǎn)得到OD⊥AB，AF=BF=

1

2

AB=2

5

，根據(jù)圓周角定理得∠ACD=∠BCD，加上∠PCA=∠B，易得∠PCE=∠PEC，所以PC=PE，接著由△PCA∽△PBC，利用相似比得PC=3PA，則利用PC²=PA•PB可計(jì)算出PC=PE=

3 5

2

，再計(jì)算出AE=PE-PA=

5

，EF=AF-AE=

5

，然后在Rt△OAF中利用勾股定理計(jì)算出OF=4，則DF=OD-OF=2，最后在Rt△DEF中利用勾股定理計(jì)算出DE．

解答：（1）證明：作直徑CM，連接AM，如圖1，
∵PC²=PA•PB，
∴PC：PA=PB：PC，
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA=∠B．
∵∠B=∠M，
∴∠M=∠PCA．
∵CM是直徑，
∴∠MAC=90°，
∴∠ACM+∠M=90°，
∴∠ACM+∠PCA=90°，即∠PCM=90°，
∴CM⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（3）解：連接OD交AB于F，連結(jié)OA，如圖2，
∵D是劣弧AB的中點(diǎn)，
∴OD⊥AB，∠ACD=∠BCD，
∴AF=BF=

1

2

AB=2

5

，
由（1）得∠PCA=∠B，
∵∠AEC=∠BCD+∠B，∠PCE=∠PCA+∠ACD，
∴∠PCE=∠PEC，
∴PC=PE，
∵△PCA∽△PBC，
∴

PA

PC

=

AC

BC

=

1

3

，
∴PC=3PA，
∵PC²=PA•PB，
∴9PA²=PA•PB，
∴9PA=PB=PA+AB，
∴8PA=AB=4

5

，
∴PA=

5

2

，
∴PC=PE=

3 5

2

，
∴AE=PE-PA=

5

，
∴EF=AF-AE=2

5

-

5

=

5

，
在Rt△OAF中，∵OA=6，AF=2

5

，
∴OF=

OA2-AF2

=4，
∴DF=OD-OF=6-4=2，
在Rt△DEF中，∵EF=

5

，DF=2，
∴DE=

EF2+DF2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．