Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，OD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BD，CD．
（1）求證：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=

3

5

，求tan∠DBC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）由AB為直徑，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂徑定理證得，

AD

=

CD

，繼而證得結(jié)論；
（2）由AB=10，cos∠ABC=

3

5

，可求得OE的長(zhǎng)，繼而求得DE，AE的長(zhǎng)，則可求得tan∠DAE，然后由圓周角定理，證得∠DBC=∠DAE，則可求得答案．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD；

（2）解：∵AB=10，
∴OA=OD=

1

2

AB=5，
∵OD∥BC，
∴∠AOE=∠ABC，
在Rt△AEO中，
OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×

3

5

=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴AE=

AO2-OE2

=

52-32

=4，
在Rt△AED中，
tan∠DAE=

DE

AE

=

2

4

=

1

2

，
∵∠DBC=∠DAE，
∴tan∠DBC=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．