Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．AB∥x軸，且OA=AB，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．連 結(jié)BC，過點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D．將∠CBD繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到∠EBF，角的兩邊分別交x軸的正半軸、y軸的正半軸于E、F．
（1）求a、b的值．
（2）當(dāng)直線BF經(jīng)過拋物線y=ax²+bx+2的頂點(diǎn)時，求CE的長．
（3）連結(jié)EF．設(shè)△BEF與△BEC的面積之差為S．當(dāng)CE為何值時S最小，求出這個最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于a、b的方程組，通過解方程組來求它們的值；
（2）如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BM⊥OC于點(diǎn)M．構(gòu)建全等三角形：△EBM≌△FBA（AAS）．則EM=AF．tan∠ABF=

AF

AB

=

HG

HB

，易求AF=

4

3

．故CE=CM+EM=1+

4

3

=

7

3

；
（3）設(shè)CE=m，則EM=m-1或1-m．在直角△BEM中，利用勾股定理得到BE²=EM²+BM²=m²-2m+5．又由（2）中的全等三角形的對應(yīng)邊相等推知：BF=BE．易求S=

1

2

(m-2)2+

1

2

．根據(jù)拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)m=2時，S_最小=

1

2

．

解答：解：（1）根據(jù)題意，B（2，2），C（3，0），則

4a+2b+2=2 9a+3b+2=0.

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 .

；

（2）由（1）知，經(jīng)過A、B、C的拋物線為y=-

2

3

x2+

4

3

x+2．
故頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，

8

3

）．
如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，
則AH=BH=1，GH=

8

3

-2=

2

3

．
過點(diǎn)B作BM⊥OC于點(diǎn)M．則四邊形ABMO為正方形．
∴BA=BM．
∵∠ABM=∠EBF=90°，
∴∠EBM=∠FBA．
∵∠BME=∠BAF=90°，
∴在△EBM與△FBA中，

∠EBM=∠FBA ∠BME=∠BAF=90° BM=BA

，
∴△EBM≌△FBA（AAS）．
∴EM=AF．
∵tan∠ABF=

AF

AB

=

HG

HB

，
∴AF=

4

3

．
∴EM=AF=

4

3

．
又∵C（3，0），B（2，2），
∴CM=1．
∴CE=CM+EM=1+

4

3

=

7

3

；                                      

（3）如圖，連接EF．
設(shè)CE=m，則EM=m-1或1-m，
∴BE²=EM²+BM²=（m-1）²+2 ²=m²-2m+5．
又∵△FBA≌△EBM，
∴BF=BE．
∴S=S_△BEF-S_△BEC．
即S=

1

2

(m-2)2+

1

2

．
當(dāng)m=2時，S_最小=

1

2

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積求法等．該題綜合性比較強(qiáng)，難度較大．解題時，要注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．