Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點F，交BP于點G，E在CD的延長線上，EP=EG,

（1）求證：直線EP為⊙O的切線；

（2）點P在劣弧AC上運動，其他條件不變，若BG²=BF·BO.試證明BG=PG.

（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=.求弦CD的長.

 

 

Answer 1

（1）（2）證法見解析；（3）CD=4

【解析】

試題分析：（1）連接OP,根據(jù)切線的判定定理證OP⊥EP即可；（2）連接OG根據(jù)相似三角形的判定定理證

△BFG∽△BGO得∠BFG=∠BGO=90°再由垂徑定理得BG=PG；（3）由sinB===得OG=∴BG=，由BG²=BF·BO得BF=2，∴OF=1由勾股定理得DF=2再由垂徑定理得CD=4

試題解析：

（1）連接OP，∵OP=OB ∴∠OPB=∠B

∵EP=EG ∴∠EPG=∠EGP 又∵∠EGP=∠BGF

∠BGF+∠B=90°

∴∠OPB+∠EPG=90° OP過圓心，

∴直線EP為⊙O的切線；

∵BG²=BF·BO ∴ 又∵∠GBF=∠OBG

∴△GBF∽△OBG ∴∠GFB=∠OGB=90°

∴OG⊥PB , OG過圓心

BG=PG.

在Rt△OGB中，sinB===

∴OG=

由射影定理得：OG2=OF OB

∴（）2=OF×3 OF=1

在Rt△OFB中 FD=2

∵OF⊥CD FO過圓心

∴FD=FC ∴CD=2 FD=4

考點：1、切線的判定定理；2、相似三角形的判定和性質(zhì)；3、垂徑定理；4、勾股定理.