【題目】如圖,有一塊含30°角的直角三角板OAB的直角邊BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等,把這兩塊三角板放置在平面直角坐標系中,且OB=3.

(1)若某反比例函數(shù)的圖象的一個分支恰好經(jīng)過點A,求這個反比例函數(shù)的解析式;

(2)若把含30°角的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)后,斜邊OA恰好落在x軸上,點A落在點A′處,試求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=;(2)S陰影=6π-.

【解析】分析:(1)根據(jù)tan30°=,求出AB,進而求出OA,得出A的坐標,設(shè)過A的雙曲線的解析式是y=,把A的坐標代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積,求出OD、DC長,求出△ODC的面積,相減即可求出答案.

本題解析:

(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3,

∴AB=OB·tan 30°=3.

∴點A的坐標為(3,3).

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (k≠0),

∴3,∴k=9,則這個反比例函數(shù)的解析式為y=.

(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,

sin ∠AOB=,即sin 30°=,

∴OA=6.

由題意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′=6π.

Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3

∴OD=OC·cos 45°=3×.

∴SODCOD2.

∴S陰影=S扇形AOA′-SODC=6π.

點睛:本題考查了勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積及等腰三角形的性質(zhì),本題屬于中檔題,難度不大,將不規(guī)則的圖形的面積表示成多個規(guī)則圖形的面積之和是解答本題的關(guān)鍵.

型】解答
結(jié)束】
26

【題目】矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點B落在CD邊上的點P處.

(1)如圖①,已知折痕與邊BC交于點O,連接AP,OP,OA.

① 求證:△OCP∽△PDA;

② 若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.

(2)如圖②,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動點M在線段AP上(不與點P,A重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.試問動點M,N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長度;若變化,說明理由.

【答案】(1)證明見解析;AB10; (2)在(1)的條件下,點M,N在移動的過程中,線段EF的長度不變,它的長度恒為2.

【解析】試題分析:(1)先證出C=D=90°,再根據(jù)1+3=90°1+2=90°,得出2=3,即可證出OCP∽△PDA;根據(jù)OCPPDA的面積比為14,得出CP=AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,由勾股定理得列方程,求出x,最后根據(jù)CD=AB=2OP即可求出邊CD的長;

2)作MQAN,交PB于點Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)MEPQ,得出EQ=PQ,根據(jù)QMF=BNF,證出MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的結(jié)論求出PB的長,最后代入EF=PB即可得出線段EF的長度不變.

試題解析:(1)如圖1,四邊形ABCD是矩形,∴∠C=D=90°∴∠1+3=90°由折疊可得APO=B=90°,∴∠1+2=90°∴∠2=3,又∵∠D=C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCPPDA的面積比為14,=,CP=AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,在RtPCO中,C=90°,由勾股定理得 : ,解得:x=5CD=AB=AP=2OP=10CD的長為10

2)作MQAN,交PB于點Q,如圖2,AP=AB,MQAN,∴∠APB=ABP=MQP,MP=MQ,BN=PMBN=QMMP=MQ,MEPQ,EQ=PQMQAN∴∠QMF=BNF,在MFQNFB中,∵∠QFM=NFB,QMF=BNF,MQ=BN,∴△MFQ≌△NFBAAS),QF=QB,EF=EQ+QF=PQ+QB=PB,由(1)中的結(jié)論可得:PC=4BC=8,C=90°,PB==,EF=PB=,在(1)的條件下,當點M、N在移動過程中,線段EF的長度不變,它的長度為

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原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

= y2+8y+16 (第二步)

=y+42 (第三步)

=x24x+42 (第四步)

回答下列問題:

1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的_______

A.提取公因式 B.平方差公式 C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式

2)該同學因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填“徹底”或“不徹底”)

若不徹底,請直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________

3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x22x)(x22x+2+1進行因式分解.

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