Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB≠BC，連接AC，AE是∠BAD的平分線，交邊DC的延長線于點F．
（1）證明：CE=CF；
（2）若∠B=60°，BC=2AB，試判斷四邊形ABFC的形狀，并說明理由．（如圖2所示）

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，進而得出答案；
（2）利用等邊三角形的判定方法得出△ABE是等邊三角形，進而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB=FC，進而結(jié)合矩形的判定方法求出即可．

解答 （1）證明：如圖（1），
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAF=∠DAF，
∵在平行四邊形ABCD中，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，
∴∠F=∠DAF=∠CEF，
∴CE=FC；

（2）解：四邊形ABFC是矩形，
理由：如圖（2），∵∠B=60°，AD∥BC，
∴∠BAD=120°，
∵∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=60°，
則△ABE是等邊三角形，
可得AB=BE=AE，∠BEA=∠AFC=60°，
∵BC=2AB，
∴AE=BE=EC，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
在△ABE和△FCE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FCE}\\{BE=EC}\\{∠BEA=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC，
又∵AB∥FC，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，
再由∠BAC=90°，
故四邊形ABFC是矩形．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出AB=FC是得出四邊形ABFC是平行四邊形的關(guān)鍵．