Question

17．如圖，一次函數(shù)y=-x+5的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；
（2）在y軸上找一點P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+5，即可得出a，再把點A坐標代反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，即可得出k，兩個函數(shù)解析式聯(lián)立求得點B坐標；
（2）作點B作關(guān)于y軸的對稱點D，連接AD，交y軸于點P，此時PA+PB的值最小，求出直線AD的解析式，令x=0，即可得出點P坐標．

解答 解：（1）把點A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+5，
得a=-1+5，
解得a=4，
∴A（1，4），
點A（1，4）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，
得k=4，
∴反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=$\frac{4}{x}$，
兩個函數(shù)解析式聯(lián)立列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴點B坐標（4，1）；

（2）作點B作關(guān)于y軸的對稱點D（-4，1），連接AD，交y軸于點P，此時PA+PB的值最小，
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
把A，D兩點代入得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{-4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{17}{5}$，
∴直線AD的解析式為y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，
令x=0，得y=$\frac{17}{5}$，
∴點P坐標（0，$\frac{17}{5}$）．

點評 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題以及軸對稱-最短路線問題，利用了待定系數(shù)法求解析式，兩點之間線段最短的性質(zhì)．