Question

17．如圖，一次函數(shù)y=-x+5的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+5，即可得出a，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，即可得出k，兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立求得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)B作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，求出直線AD的解析式，令x=0，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+5，
得a=-1+5，
解得a=4，
∴A（1，4），
點(diǎn)A（1，4）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，
得k=4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=$\frac{4}{x}$，
兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（4，1）；

（2）作點(diǎn)B作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D（-4，1），連接AD，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
把A，D兩點(diǎn)代入得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{-4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{17}{5}$，
∴直線AD的解析式為y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，
令x=0，得y=$\frac{17}{5}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（0，$\frac{17}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，利用了待定系數(shù)法求解析式，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．