Question

如圖，△ACB和△ECD均為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D在AB上．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=1，BD=2，求ED的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夾這個角的兩邊分別是兩等腰直角三角形的腰，利用SAS即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE長度．

解答：（1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）解：又∠BAC=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形，
∴DE²=AE²+AD²=1²+2²=5．
∴DE=

5

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練運用邊角邊定理證明三角形全等是解題關(guān)鍵．