Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，連結(jié)BC，過(guò)D作PF∥AC交AB于E，交⊙O于F，交BC于點(diǎn)G，且∠BPF＝∠ADC．

（1）判斷直線BP與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若⊙O的半徑為，AC＝2，BE＝1，求BP的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）相切；（2）2

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90即AC⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CAB＝∠PEB，由∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC可得∠ABC＝∠BPF，即可證得△ABC∽△EPB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定方法即可證得結(jié)果；

（2）在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理可得BC＝4，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB＝90即AC⊥BC．

∵PF∥AC，

∴∠CAB＝∠PEB．

∵∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC，

∴∠ABC＝∠BPF．

∴△ABC∽△EPB    

∴∠PBE＝∠ACB＝90°，

∴PB⊥OB． 

∴BP與⊙O相切． 

（2）∵Rt△ABC中，AC＝2，AB＝2，

∴BC＝4． 

∵△ABC∽△EPB，

∴＝．

∴＝，

∴BP＝2．

考點(diǎn)：圓周角定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是熟記相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，注意對(duì)應(yīng)字母在對(duì)應(yīng)位置上.