Question

如圖，在等邊△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC上．
（1）如果AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，求證：△DEF是等邊三角形；
（2）如果AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，△DEF仍是等邊三角形嗎？
（3）直接寫出D、E、F三點滿足什么條件時，△DEF是等邊三角形．

Answer 1

考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊△ABC中AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，證得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等邊三角形．
（2）根據(jù)等邊△ABC中AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，證得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等邊三角形．
（3）根據(jù)等邊△ABC中AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，證得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：△DEF是等邊三角形．

解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，且AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根據(jù)SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一個等邊三角形．

（2）∵△ABC為等邊三角形，且AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根據(jù)SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一個等邊三角形．

（3）當(dāng)AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF時，△DEF是等邊三角形．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，且AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
根據(jù)SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一個等邊三角形．

點評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定，根據(jù)已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解題關(guān)鍵．