Question

13．如圖，直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線l₂：y=kx-6交于點(diǎn)C（4，2）．
（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，0），B為（0，4）；
（2）在線段BC上有一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線l₂于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形OBEF是平行四邊形；
（3）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)Q，使得P、Q、A、B四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形．若存在，求出所有符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線l₁的解析式，再分別令直線l₁的解析式中x=0、y=0求出對(duì)應(yīng)的y、x值，即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線l₂的解析式，結(jié)合點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）分AB為邊和AB為對(duì)角線兩種情況討論．當(dāng)AB為邊時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合A、B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)三角形相似找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形對(duì)角線互相平分即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)C（4，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b中，
得：2=-2+b，解得：b=4，
∴直線l₁為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
令y=-$\frac{1}{2}$x+4中x=0，則y=4，
∴B（0，4）；
令y=-$\frac{1}{2}$x+4中y=0，則x=8，
∴A（8，0）．
故答案為：8；0；0；4．
（2）∵點(diǎn)C（4，2）是直線l₂：y=kx-6上的點(diǎn)，
∴2=4k-6，解得：k=2，
∴直線l₂為y=2x-6．
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤4），
∴E（m，-$\frac{1}{2}$m+4），F(xiàn)（m，2m-6），
∴EF=-$\frac{1}{2}$m+4-（2m-6）=10-$\frac{5}{2}$m．
∵四邊形OBEF是平行四邊形，
∴BO=EF，即4=10-$\frac{5}{2}$m，
解得：m=$\frac{12}{5}$．
故當(dāng)m=$\frac{12}{5}$時(shí)，四邊形OBEF是平行四邊形．
（3）假設(shè)存在．
以P、Q、A、B為頂點(diǎn)的菱形分兩種情況：
①以AB為邊，如圖1所示．
∵點(diǎn)A（8，0），B（0，4），
∴AB=4$\sqrt{5}$．
∵以P、Q、A、B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，
∴AP=AB或BP=BA．
當(dāng)AP=AB時(shí)，點(diǎn)P（8-4$\sqrt{5}$，0）或（8+4$\sqrt{5}$，0）；
當(dāng)BP=BA時(shí)，點(diǎn)P（-8，0）．
當(dāng)P（8-4$\sqrt{5}$，0）時(shí)，Q（8-4$\sqrt{5}$-8，0+4），即（-4$\sqrt{5}$，4）；
當(dāng)P（8+4$\sqrt{5}$，0）時(shí)，Q（8+4$\sqrt{5}$-8，0+4），即（4$\sqrt{5}$，4）；
當(dāng)P（-8，0）時(shí)，Q（-8+8-0，0+0-4），即（0，-4）．
②以AB為對(duì)角線，對(duì)角線的交點(diǎn)為M，如圖2所示．
∵點(diǎn)A（8，0），B（0，4），
∴M（4，2），AM=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$．
∵PM⊥AB，
∴∠PMA=∠BOA=90°，
∴△AMP∽△AOB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{OA}$，
∴AP=5，
∴點(diǎn)P（8-5，0），即（3，0）．
∵以P、Q、A、B為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，
∴點(diǎn)Q（8+0-3，0+4-0），即（5，4）．
綜上可知：若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，則在平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)Q，使得P、Q、A、B四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)菱形，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-4$\sqrt{5}$，4）、（4$\sqrt{5}$，4）、（0，-4）或（5，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2）找出關(guān)于m的一元一次方程；（3）分AB為邊或?qū)�角線考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，充分利用平行四邊形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．