Question

18．（1）請?jiān)跈M線上填寫合適的內(nèi)容，完成下面的證明：
如圖①如果AB∥CD，求證：∠APC=∠A+∠C．
證明：過P作PM∥AB．
所以∠A=∠APM，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
因?yàn)镻M∥AB，AB∥CD（已知）
所以∠C=∠CPM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
因?yàn)椤螦PC=∠APM+∠CPM
所以∠APC=∠A+∠C（等量代換）
（2）如圖②，AB∥CD，根據(jù)上面的推理方法，直接寫出∠A+∠P+∠Q+∠C=540°．
（3）如圖③，AB∥CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，則m=x-y+z（用x、y、z表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；
（2）過點(diǎn)P作PM∥AB，過點(diǎn)Q作QN∥CD，將∠A、∠P、∠Q、∠C劃分為6個(gè)3對同旁內(nèi)角，由平行線的性質(zhì)可得；
（3）延長PQ交CD于點(diǎn)E，延長QP交AB于點(diǎn)F，可得∠BFP=∠CEQ，根據(jù)三角形外角定理知∠BFP=∠BPQ-∠B、∠CEQ=∠PQC-∠C，整理后即可得．

解答 解：（1）過P作PM∥AB，
所以∠A=∠APM，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
因?yàn)?nbsp;PM∥AB，AB∥CD （已知  ）
所以 PM∥CD，
所以∠C=∠CPM，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
因?yàn)椤螦PC=∠APM+∠CPM
所以∠APC=∠A+∠C  （等量代換 ），
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠CPM；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

（2）如圖②，過點(diǎn)P作PM∥AB，過點(diǎn)Q作QN∥CD，

∴∠A+∠APM=180°，∠C+∠CQN=180°，
又∵AB∥CD，
∴PM∥QN，
∴∠MPQ+∠NQP=180°，
則∠A+∠APQ+∠CQP+∠C=∠A+∠APM+∠MPQ+∠NQP+∠CQN+∠C=540°，
故答案為：540°．

（3）如圖③，延長PQ交CD于點(diǎn)E，延長QP交AB于點(diǎn)F，

∵AB∥CD，
∴∠BFP=∠CEQ，
又∵∠BPQ=∠BFP+∠B，∠PQC=∠CEQ+∠C，
即∠BFP=∠BPQ-∠B，∠CEQ=∠PQC-∠C，
∴∠BPQ-∠B=∠PQC-∠C，即y-x=z-m，
∴m=x-y+z，
故答案為：x-y+z．

點(diǎn)評 本題主要考查平行線的性質(zhì)，作出合適的輔助線將待求角恰當(dāng)分割是解題的關(guān)鍵．