Question

好學(xué)的小紅在學(xué)完三角形的角平分線后，鉆研了下列4個問題，請你一起參與，共同進(jìn)步．
如圖，△ABC，點I是∠ABC與∠ACB平分線的交點，點D是∠MBC與∠NCB平分線的交點，點E是∠ABC與∠ACG平分線的交點．
問題（1）：若∠BAC=50°，則∠BIC=

 

°，∠BDC=

 

°．
問題（2）：．猜想∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
問題（3）：若∠BAC=x°（0＜x＜90），則當(dāng)∠ACB等于

 

 度（用含x的代數(shù)式表示）時，CE∥AB．說明理由．
問題（4）：若△BDE中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，試求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）已知點I是兩角B、C平分線的交點，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90+

1

2

∠BAC，由此可求∠BIC；因為BE、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四邊形CDBI中，可證∠BDC=180°-∠BIC=90-

1

2

∠BAC，由此可求∠BDC；
（2）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=

1

2

∠BAC；
（3）當(dāng)CE∥AB時，∠BEC=

1

2

∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=

1

2

（180-∠BAC）．
（4）由題意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°若∠EBD=3∠D時∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E時∠BAC=60°；若∠D=3∠E時∠BAC=45°；若∠E=3∠D時∠BAC=135°．

解答：解：（1）∵點I是兩角B、C平分線的交點，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90+

1

2

∠BAC=115°；
∵BE、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四邊形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-

1

2

∠BAC=65°；

（2）∠BEC=

1

2

∠BAC．
證明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-

1

2

∠BAC）
=

1

2

∠BAC；

（3）當(dāng)∠ACB等于（180-2x）°時，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=x°，
∵CE是∠ACG的平分線，
∴∠ACG=2∠ACE=2x°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=2x°-x°=x°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=（180-2x）°．

（4）由題意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°
若∠EBD=3∠D時∠BAC=120°；
若∠EBD=3∠E時∠BAC=60°；
若∠D=3∠E時∠BAC=45°；
若∠E=3∠D時∠BAC=135°．
故答案為：（1）115，65；（2）∠BEC=

1

2

∠BAC；（3）180-2x；（4）若∠EBD=3∠D時∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E時∠BAC=60°；若∠D=3∠E時∠BAC=45°；若∠E=3∠D時∠BAC=135°．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角、外角平分線的夾角大小與原三角形內(nèi)角的關(guān)系，要充分運用三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)換．