Question

如圖．在平面直角坐標系中，邊長為的正方形ABCD的頂點A、B在x軸上，連接OD、BD、△BOD的外心I在中線BF上，BF與AD交于點E．

（1）求證：△OAD≌△EAB；

（2）求過點O、E、B的拋物線所表示的二次函數(shù)解析式；

（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P，其關(guān)于直線BF的對稱點在x軸上？若有，求出點P的坐標；

（4）連接OE，若點M是直線BF上的一動點，且△BMD與△OED相似，求點M的坐標．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）證明IF⊥OD，進而得到∠FED=∠EBA；又因為DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可證明△OAD≌△EAB；

（2）首先求出點B、E的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）由于直線BD與x軸關(guān)于直線BF對稱，則拋物線與直線BD的交點即為所求之點P．分別求出拋物線與直線BD的解析式，聯(lián)立解方程，即可求出交點（點P）的坐標；

（4）首先證明△OED是頂角為135°的等腰三角形，若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形．如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點M有4個，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點M₁，M₃．

解答：

（1）證明：如答圖1所示，連接ID，IO，

∵I為△BOD的外心，∴IO=ID，

又F為OD的中點，∴IF⊥OD．

∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB，

∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，

∴△OAD≌△EAB．

（2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF為中線，

∴BO=BD=AB=2，

∴OA=BO﹣AB=2﹣．

由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2﹣，

∴E（2﹣，2﹣），B（2，0）．

設過點O、B、E的拋物線解析式為y=ax²+bx，

則有，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=x²+x．

（3）解：∵直線BD與x軸關(guān)于直線BF對稱，

∴拋物線與直線BD的交點，即為所求之點P．

由（2）可知，B（2，0），D（2﹣，），可得直線BD的解析式為y=﹣x+2．

∵點P既在直線y=﹣x+2上，也在拋物線y=x²+x上，

∴﹣x+2=x²+x，解此方程得：x=2或x=，

當x=2時，y=﹣x+2=0；當x=時，y=﹣x+2=2﹣，

∴點P的坐標為（2，0）（與點B重合），或（，2﹣）．

（4）解：∵DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD，

∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA，

∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是頂角為135°的等腰三角形．

若△BMD與△OED相似，則△BMD必須是等腰三角形．

如答圖2所示，在直線BF上能使△BMD為等腰三角形的點M有4個，分別記為M₁，M₂，M₃，M₄，其中符合題意的是點M₁，M₃．

∵DM₁=DB=2，OA=2﹣，∴M₁（﹣，）．

由（1）知B（2，0），E（2﹣，2﹣），故直線BE的解析式為y=（1﹣）x﹣2+．

I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分線x=1與OD的垂直平分線BE的交點，

∴I（1，﹣1），即M₃（1，﹣1）．

故符合題意的M點的坐標為（﹣，），（1，﹣1）．

點評：

本題考查了二次函數(shù)綜合題型：第（1）問涉及全等三角形的證明；第（2）問涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；第（3）問涉及軸對稱知識，以及拋物線與一次函數(shù)的交點問題；第（4）問涉及相似三角形的判定，以及點的坐標的確定與計算．本題涉及考點眾多，難度較大，對數(shù)學能力要求較高．