Question

如圖，為了綠化小區(qū)，某物業(yè)公司要在形如五邊形ABCDE的草坪上建一個(gè)矩形花壇PKDH．已知：PH∥AE，PK∥BC，DE=100米，EA=60米，BC=70米，CD=80米．以BC所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．
（Ⅰ）求直線AB的解析式．
（Ⅱ）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，矩形PKDH的面積為S．
（1）用x表示S；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，S取最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意易求A、B的坐標(biāo)為（0，20）、（30，0）．利用待定系數(shù)法可以求得直線AB的解析式；
（Ⅱ）（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)可以表示為（x，-

2

3

x+20），則PK=100-x，PH=80-（-

2

3

x+20）=60+

2

3

x，所以根據(jù)矩形的面積公式可以求得函數(shù)解析式為：S=（100-x）（60+

2

3

x）；
（2）利用（1）中的二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示，∵OE=80米，OC=ED=100米，AE=60米，BC=70米，
∴OA=20米，OB=30米，
即A、B的坐標(biāo)為（0，20）、（30，0）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），則

30k+b=0 b=20

，
解得，

k=- 2 3 b=20

，
則直線AB的解析式為y=-

2

3

x+20；

（Ⅱ）（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）．
∵點(diǎn)P在直線AB上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)可以表示為（x，-

2

3

x+20），
∴PK=100-x，PH=80-（-

2

3

x+20）=60+

2

3

x，
∴S=（100-x）（60+

2

3

x）；

（2）由S=（100-x）（60+

2

3

x）=-

2

3

（x-5）²+

18050

3

，
所以，當(dāng)x=5時(shí)，矩形面積的最大值為：S_最大=

18050

3

平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，主要涉及了用解析法解決平面問(wèn)題，矩形面積公式，二次函數(shù)法求最值，以及數(shù)形結(jié)合的思想．