Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，$\widehat{CA}$=$\widehat{CD}$，CE⊥DB于E，BE=1，AB=5，求BD的長．

Answer 1

分析 作輔助線，根據(jù)在同圓或等圓中，弧相等，則弦相等得AC=CD，再利用同弧所對的圓周角相等和圓外角等于內(nèi)對角得：∠ABC=∠ADC=∠CAD=∠CBE，證明△ABC∽△CBE，得比例式可求得結(jié)論．

解答 解：連接BC、AC、CD、AD，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠ABC=∠ADC=∠CAD=∠CBE，
∵AB是⊙O的直徑，CE⊥DB，
∴∠ACB=∠BEC=90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∵BE=1，AB=5，
∴BC²=BE•AB=1×5=5，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-5}$=2$\sqrt{5}$，
∴CD=AC=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{BC}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{CE}{2\sqrt{5}}$，
∴CE=2，
∴DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
∴BD=DE-BE=4-1=3．

點評 本題考查了圓中的有關(guān)概念，熟練掌握這些概念和性質(zhì)是做好本題的關(guān)鍵，同時能正確作出輔助線，構(gòu)建圓中的弦和圓周角，并與勾股定理相結(jié)合，利用三角形相似列比例式得出結(jié)論．