Question

7．設(shè)直線y=kx+k-1和直線y=（k+1）x+k（k是正整數(shù)）與x軸圍成的三角形面積為S_k，則S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值是$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 當k=1時，直線解析式為y=x和y=2x+1，利用兩直線相交的問題求出它們的交點坐標為（-1，-1），再分別求出它們與x軸的交點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式計算出S₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{1×2}$，利用同樣方法可得到S₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2×3}$，S₃=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3×4}$，利用這三個數(shù)的規(guī)律可得到S_k=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{k（k+1）}$，則S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{10×11}$，然后利用$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$計算S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．

解答 解：當k=1時，直線y=x與直線y=2x+1的交點坐標為（-1，-1），直線y=x與x軸的交點坐標為（0，0），直線y=2x+1與x軸的交點為（-$\frac{1}{2}$，0），所以S₁=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{1×2}$；
當k=2時，直線y=2x+1與直線y=3x+2的交點坐標為（-1，-1），直線y=2x+1與x軸的交點為（-$\frac{1}{2}$，0），直線y=3x+2與x軸的交點為（-$\frac{2}{3}$，0），所以S₂=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$）•1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2×3}$；
當k=3時，直線y=3x+2與直線y=4x+3的交點坐標為（-1，-1），直線y=3x+2與x軸的交點為（-$\frac{2}{3}$，0），直線y=4x+3與x軸的交點為（-$\frac{3}{4}$，0），所以S₃=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$）•1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3×4}$；
所以S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{10×11}$，
所以S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{10×11}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{11}$）=$\frac{5}{11}$．
故答案為$\frac{5}{11}$．

點評 本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．計算S₁、S₂、S₃的值，從中找到Sk的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．