Question

如圖，半圓O直徑DE=12，Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=90°，∠ABC=30°．半圓O從左到右運動，在運動過程中，點D，E始終在直線BC上，半圓O在△ABC的左側(cè)，當(dāng)△ABC的一邊與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC的三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，重疊部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：動點型

分析：本題要分當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有圖2與圖3所示的兩種情形分別計算．

解答：解：當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有圖2與圖3所示的兩種情形．
①如圖2，設(shè)OA與半圓O的交點為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，所求重疊部分面積為：S_扇形EOM=

1

4

π×6²=9π（cm²）
②如圖3，設(shè)AB與半圓O的交點為P，連接OP，過點O作OH⊥AB，垂足為H．
則PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm
則OH=3cm，BH=3

3

cm，BP=6

3

cm，S_△POB=

1

2

×6

3

×3=9

3

（cm²）
又因為∠DOP=2∠DBP=60°
所以S_扇形DOP=6π（cm²）
所求重疊部分面積為：S_△POB+S_扇形DOP=9

3

+6π（cm²），
故答案為：9π或9

3

+6π．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)和扇形面積的計算，切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．