Question

如圖，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．
（1）過(guò)點(diǎn)C作直線DE，分別交AM、BN于點(diǎn)D、E，則AB、AD、BE三條線的長(zhǎng)度之間存在何種等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)系式

 

．
（2）如圖，若將直線DE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，使DE與AM交于點(diǎn)D，與NB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則AB、AD、BE三條線的長(zhǎng)度之間存在何種等量關(guān)系？請(qǐng)你給出結(jié)論并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）延長(zhǎng)BC與AM交于點(diǎn)F，如圖1，由AM∥BN，BC平分∠NBA可推出∠AFB=∠ABF，則有AF=AB．由AC平分∠MAB可得FC=BC，從而可證到△DCF≌△ECB，則有DF=EB，從而可得到AB=AF=AD+DF=AD+BE；
（2）延長(zhǎng)BC與AM交于點(diǎn)F，如圖2，可借鑒（1）中的解題經(jīng)驗(yàn)得到AF=AB，DF=EB，從而得到AB=AF=AD-DF=AD-BE．

解答：解：（1）AB=AD+BE．
理由如下：延長(zhǎng)BC與AM交于點(diǎn)F，如圖1．
∵AM∥BN，BC平分∠NBA，
∴∠AFB=∠FBE，∠FBE=∠ABF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB．
∵AC平分∠MAB，
∴FC=BC．
在△DCF和△ECB中，

∠DFC=∠EBC FC=BC ∠DCF=∠ECB

，
∴△DCF≌△ECB，
∴DF=EB，
∴AB=AF=AD+DF=AD+BE，
故答案為AB=AD+BE；

（2）AB=AD-BE．
證明：延長(zhǎng)BC與AM交于點(diǎn)F，如圖2．
∵AM∥BN，BC平分∠NBA，
∴∠AFB=∠FBN，∠FBN=∠ABF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB．
∵AC平分∠MAB，
∴FC=BC．
在△DCF和△ECB中，

∠DFC=∠EBC FC=BC ∠DCF=∠ECB

，
∴△DCF≌△ECB，
∴DF=EB，
∴AB=AF=AD-DF=AD-BE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，由本題可得到以下經(jīng)驗(yàn)：平行線與角平分線組合常常會(huì)出現(xiàn)等腰三角形；平行線與中點(diǎn)組合常常會(huì)出現(xiàn)全等三角形．