Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（0，1）和（-1，0）．下列結(jié)論：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當(dāng)x＞-1時(shí)，y＞0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

1. A.
   5個(gè)
2. B.
   4個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   2個(gè)

Answer 1

B
分析：由拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，可以判定a、b異號(hào)，由此確定①正確；
由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b²-4ac＞0，又拋物線過點(diǎn)（0，1），得出c=1，由此判定②正確；
由拋物線過點(diǎn)（-1，0），得出a-b+c=0，即a=b-1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正確；
由a-b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正確；
由圖象可知，當(dāng)自變量x的取值范圍在一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根之間時(shí)，函數(shù)值y＞0，由此判定⑤錯(cuò)誤．
解答：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）過點(diǎn)（0，1）和（-1，0），
∴c=1，a-b+c=0．
①∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴x=-＞0，
∴a與b異號(hào)，∴ab＜0，正確；
②∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴b²-4ac＞0，
∵c=1，∴b²-4a＞0，b²＞4a，正確；
④∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a-b+c=0，c=1，∴a=b-1，
∵a＜0，∴b-1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正確；
③∵a-b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正確；
⑤拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為（x，0），則x₀＞0，
由圖可知，當(dāng)x₀＞x＞-1時(shí)，y＞0，錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，不等式的性質(zhì)，難度適中．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），a的符號(hào)由拋物線開口方向決定；b的符號(hào)由對(duì)稱軸的位置及a的符號(hào)決定；c的符號(hào)由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置決定；拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，決定了b²-4ac的符號(hào)，此外還要注意二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換．