Question

矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形AEFG，使B點(diǎn)正好落在CD上的點(diǎn)E處，連BE．
（1）求證：∠BAE=2∠CBE；
（2）如圖2，連BG交AE于M，點(diǎn)N為BE的中點(diǎn)，連MN、AF，試探究AF與MN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠ABE=∠AEB，求出∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+2∠ABE=180°，即可求出答案；
（2）過B作BO⊥AE于O，連接EG，根據(jù)矩形性質(zhì)得出EG=AF，求出BC=BO=AG，求出M為BG中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形A點(diǎn)正好落在CD上的點(diǎn)E處，
∴BC=AG，∠EAG=90°，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
∴2∠ABE+∠BAE=180°，
∵∠CBE+∠ABE=90°，
∴2∠CBE+2∠ABE=180°，
∴∠BAE=2∠CBE．

（2）AF=2MN，
證明：過B作BO⊥AE于O，連接EG，
∵四邊形AEFG是矩形，
∴AF=EG，∠MAG=∠BOM=90°，
∵∠C=∠CBA=90°，
∴∠AEB=∠ABE=90°-∠CBE，∠CEB=90°-∠CBE，
∴∠CEB=∠OEB，
在△CBE和△OBE中，

∠CBE=∠OBE ∠C=∠BOE=90° BE=BE

，
∴△CBE≌△OBE（AAS），
∴EC=OE，BO=BC=AD=AG，
在△BOM和△GAM中，

∠AMG=∠BME ∠BOM=∠GAM BO=AG

，
∴△BOM≌△GAM（AAS），
∴BM=GM，
∵點(diǎn)N為BE的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

EG，
∵EG=AF，
∴AF=2MN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)行定理進(jìn)行推理的能力，有一定的難度．