Question

如圖，在正方形ABCD的對(duì)角線上取點(diǎn)E，使得∠BAE=15°，連接AE，CE．延長(zhǎng)CE到F，連接BF，使得BC=BF．若AB=1，則下列結(jié)論：①AE=CE；②F到BC的距離為；
③BE+EC=EF；④；⑤．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A．2個(gè)
B．3個(gè)
C．4個(gè)
D．5個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，證△ABE≌△CBE，即可判斷①；過F作FH⊥BC于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出FH；過A作AM⊥BD交于M，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形的面積公式即可求出高AM，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．
解答：解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正確；
∵過F作FH⊥BC于H，
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴FH=BF=，∴②錯(cuò)誤；
∵Rt△BHF中，
FH=，BF=1，
∴CF==2+
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AE=CE，

在EF上取一點(diǎn)N，使BN=BE，
又∵∠NBE=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE為等邊三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
可證△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，
∴③正確；
過A作AM⊥BD交于M，
根據(jù)勾股定理求出BD=，
由面積公式得：AD×AB=BD×AM，
AM==，
∵∠ADB=45°，∠AED=60°，
∴DM=，EM=，
∴S_△AED=DE×AM=+，∴④錯(cuò)誤；
S_△EBF=S_△FBC-S_△EBC=×1×-×1×[1-]=，∴⑤正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．