Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝2，以CD為直徑作⊙O₁，交BC于點E，過點E作EF⊥AB于F，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為A(0，2)，B(－2，0)．

(1)求C，D兩點的坐標(biāo)．

(2)求證：EF為⊙O₁的切線．

(3)探究：如圖，線段CD上是否存在點P，使得線段PC的長度與P點到y(tǒng)軸的距離相等？如果存在，請找出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連接DE，∵CD是⊙O1的直徑， 　　∴DE⊥BC， 　　∴四邊形ADEO為矩形． 　　∴OE＝AD＝2，DE＝AO＝2． 　　在等腰梯形ABCD中，DC＝AB． 　　∴CE＝BO＝2，CO＝4． 　　∴C(4，0)，D(2，2)； 　　(2)連接O1E，在⊙O1中，O1E＝O1C， 　　∠O1EC＝∠O1CE， 　　在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB． 　　∴O1E∥AB， 　　又∵EF⊥AB， 　　∴O1E⊥EF． 　　∵E在AB上， 　　∴EF為⊙O1的切線 　　(3)解法一：存在滿足條件的點P． 　　如圖，過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC＝PM， 　　在矩形OMPN中，ON＝PM， 　　設(shè)ON＝x，則PM＝PC＝x，CN＝4－x， 　　tan∠ABO＝＝＝． 　　∴∠ABO＝60°， 　　∴∠PCN＝∠ABO＝60°． 　　在Rt△PCN中， 　　cos∠PCN＝， 　　即， 　　∴x＝． 　　∴PN＝CN·tan∠PCN＝(4－)·＝． 　　∴滿足條件的P點的坐標(biāo)為(，)． 　　解法二：存在滿足條件的點P， 　　如圖，在Rt△AOB中，AB＝． 　　過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC＝PM， 　　在矩形OMPN中，ON＝PM， 　　設(shè)ON＝x，則PM＝PC＝x，CN＝4－x， 　　∵∠PCN＝∠ABO，∠PCN＝∠AOB＝90°． 　　∴△PNC∽△AOB， 　　∴，即． 　　解得x＝． 　　又由△PNC∽△AOB，得，即， 　　∴PN＝． 　　∴滿足條件的P點的坐標(biāo)為(，)． 　　分析：(1)連接DE，由等腰梯形的對稱性可知，△CDE≌△BAO，根據(jù)線段的等量關(guān)系求C，D兩點的坐標(biāo)； 　　(2)連接O1E，由半徑O1E＝O1C，得∠O1EC＝∠O1CE，由等腰梯形的性質(zhì)，得∠ABC＝∠DCB，故∠O1EC＝∠ABC，可證O1E∥AB，由EF⊥AB，證明O1E⊥EF即可； 　　(3)存在．過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，由PC＝PM，可知四邊形OMPN為正方形，設(shè)ON＝x，則PM＝PC＝x，CN＝4－x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解． 　　點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，作輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)求解．