Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=AD，DE⊥BC于E，點F為AB上一點，且AF=EC，點M為FC的中點，連接FD、BD、ME，設FC與DE相交于點N，下列結論：
①∠FDB=∠FCB；②△DFN∽△DBC；③FB=ME；④ME垂直平分BD，
其中正確結論的個數是

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：由題意可得四邊形ABED是正方形，易證得△ADF≌△EDC，繼而可得∠FDC=90°，則可得F，B，C，D四點共圓，利用圓周角定理，可得①正確；
由圓周角定理可得∠DFN=∠CBD，又由同角的余角相等，證得∠FDN=∠BCD，可證得△DFN∽△DBC；
連接BM，DM，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DM=BM，然后利用線段垂直平分線的判定方法，證得ME垂直平分BD；
則可得∠MEB=45°，利用三角形中位線的性質與等腰直角三角形的性質，即可求得FB=ME．
解答：∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，DE⊥BC，
∴∠ABC=∠BED=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∵AB=AD，
∴四邊形ABED是正方形，
∴AD=DE，
在△ADF和△EDC中，
∵，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠ADF+∠FDE=90°，
∴∠FDC=∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠FDC+∠FBC=180°，
∴F，B，C，D四點共圓，
∴∠FDB=∠FCB，
故①正確；
∴∠DFN=∠DBC，
∵∠FDE+∠EDC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠FDE=∠ECD，
即∠FDN=∠BCD，
∴△FDN∽△BCD，
故②正確；
連接BM，DM，
∵∠FBC=∠FDC=90°，點M為FC的中點，
∴BM=DM=BC，
∴M在BD的垂直平分線上，
∵ED=BE，
∴E在BD的垂直平分線上，
∴ME垂直平分BD；
故④正確；
過點M作MH⊥BC于M，
則MH∥AB，
∵M在BD的垂直平分線上，
∴MH是△CBF的中位線，
∴FB=2MH，
∵ME垂直平分BD，
∴∠MEH=∠BED=45°，
∴MH=ME•sin∠MEH=ME•sin45°=ME，
∴FB=ME．
故③正確．
故選D．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、三角形中位線的性質、圓周角定理以及三角函數等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用，注意準確作出輔助線．