Question

如圖，拋物線c₁：y=ax²-2ax-c與x軸交于A、B，且AB=6，與y軸交于C（0，-4 ）．
（1）求拋物線c₁的解析式；
（2）問拋物線c₁上是否存在P、Q（點P在點Q的上方）兩點，使得以A、C、P、Q為頂點的四邊形為直角梯形，若存在，求P、Q兩點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）拋物線c₂與拋物線c₁關于x軸對稱，直線x=m分別交c₁、c₂于D、E兩點，直線x=n分別交c₁、c₂于M、N兩點，若四邊形DMNE為平行四邊形，試判斷m和n間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把C（0，-4）代入拋物線的解析式求出c=4，得到y(tǒng)=ax²-2ax-4，根據AB=6，利用求根公式即可求出a的值，代入即可；
（2）有兩種情況：①當∠PAC=∠ACQ=90°時，連接AQ，設Q（x，x²-x-4），由勾股定理得出AQ²=AC²+CQ²，代入求出x的值，求出x²-x-4=-，得到Q的坐標，同法可求P的坐標；②當∠ACQ=∠PQC=90°時，與①解法類似可求出Q的坐標和P的坐標，即可得出答案；
（3）m和n間的數量關系是m+n=0，且m≠0，n≠0．根據拋物線c₂與拋物線c₁關于x軸對稱，得出兩拋物線的形狀相同，開口方向相反，且都關于x軸對稱，根據平行四邊形的形狀得到DE∥MN，ED=MN，DE與 MN關于直線x=1對稱，即可得到答案．
解答：（1）解：把C（0．-4）代入拋物線的解析式得：c=4，
∴y=ax²-2ax-4，
∵AB=6，
∴|-|=6，
解得：a=0（舍去），a=，
∴，
答：拋物線c₁的解析式是y=x²-x-4．

（2）解：∵當y=x²-x-4=0，x=4或-2，
∴OA=2，OB=4，
有兩種情況：①當∠PAC=∠ACQ=90°時如圖（1），連接AQ，設Q（x，x²-x-4），
由勾股定理得：AQ²=AC²+CQ²，
代入得：（x+2）²+=2²+4²+x²+，
解得：x=0（舍去），x=3，
當x=3 時，x²-x-4=-，
∴Q（3，），
同法可求P的坐標是（5，）；
②當∠ACQ=∠PQC=90°時如圖（2），與①解法類似可求出Q的坐標是（3，-），P的坐標是（-5，）；
答：存在，P、Q的坐標分別為（5，），（3，）或（-5，），（3，）．

（3）答：m和n間的數量關系是m+n=0，且m≠0，n≠0．
理由是：∵拋物線c₂與拋物線c₁關于x軸對稱，
∴兩拋物線的形狀相同，開口方向相反，且都關于x軸對稱，
∵直線x=m分別交c₁、c₂于D、E兩點，直線x=n分別交c₁、c₂于M、N兩點，四邊形DMNE為平行四邊形，
∴直線m n垂直于x軸（m∥n），DE=MN，DE與 MN關于直線x=1對稱，
∴m+n=2，m≠0，n≠0．
點評：本題主要考查對平行四邊形的性質，坐標與圖形變換-對稱，勾股定理，解一元二次方程-公式法，直角梯形等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵，題目比較典型，難度適中．