如圖1,已知四邊形OABC中的三個頂點坐標(biāo)為O(0,0),A(0,n),C(m,0).動點P從點O出發(fā)依次沿線段OA,AB,BC向點C移動,設(shè)移動路程為z,△OPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示.m,n是常數(shù),m>1,n>0.
(1)請你確定n的值和點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)動點P是經(jīng)過點O,C的拋物線y=ax2+bx+c的頂點,且在雙曲線y=上時,求這時四邊形OABC的面積.

【答案】分析:(1)本題要根據(jù)圖2的分段函數(shù)進(jìn)行求解.當(dāng)0<z≤2時,P在OA上運動,因此S=OC•z=mz.當(dāng)2<z≤3時,P在AB上運動,因此S=OC•OA=mn.由此可得出當(dāng)P從A運動到B時,S=mn=m,因此n=2.而z的值是由2逐漸增大到3因此AB=1,因此B點的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2).
(2)求四邊形OABC的面積,關(guān)鍵是確定m的值.(由于P不可能與O,D重合)可分三種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)P在OA上時,此時P,O,C不可能構(gòu)成拋物線.因此這種情況不成立.
②當(dāng)P在AB上時,可先根據(jù)O,C的坐標(biāo)來列出拋物線的解析式.此時P的縱坐標(biāo)為2,然后可根據(jù)拋物線的解析式表示出P的橫坐標(biāo),然后將得出的P的坐標(biāo)代入雙曲線中即可得出m的值.
③當(dāng)P在BC上時,也要先得出P點的縱坐標(biāo),具體思路是過B,P作x軸的垂線,通過相似三角形來求出P點的縱坐標(biāo),然后按①的方法求出m的值.
綜合上述的情況即可得出m的值,也就能確定OC的長,即可求出梯形OABC的面積.
解答:解:(1)從圖1中可知,當(dāng)P從O向A運動時,△POC的面積S=mz,z由0逐步增大到2,則S由0逐步增大到m,
故OA=2,n=2.
同理,AB=1,故點B的坐標(biāo)是(1,2).

(2)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點O(0,0),C(m,0)
∴c=0,b=-am,
∴拋物線為y=ax2-amx,頂點坐標(biāo)P為(,-am2).
∵m>1,
>0,且≠m,
∴P不在邊OA上且不與C重合.
∵P在雙曲線y=上,
×(-am2)==-
①當(dāng)1<m≤2時,≤1,如圖2,分別過B,P作x軸的垂線,
M,N為垂足,此時點P在線段AB上,且縱坐標(biāo)為2,
∴-am2=2,即a=-
又∵a=-,
∴-=-,m=>2,而1<m≤2,不合題意,舍去.
②當(dāng)m≥2時,>1,如圖3,分別過B,P作x軸的垂線,M,N為垂足,ON>OM,
此時點P在線段CB上,易證Rt△BMC∽Rt△PNC,
∴BM:PN=MC:NC,即2:PN=(m-1):,
∴PN=
而P的縱坐標(biāo)為-am2,
=-am2,即a=
而a=-,
∴-=化簡得:5m2-22m+22=0.
解得:m=,
但m≥2,所以m=舍去,
取m=
由以上,這時四邊形OABC的面積為:
(AB+OC)×OA=(1+m)×2=
點評:本題著重考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的相關(guān)知識、三角形相似等知識點,綜合性強,能力要求較高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀與理解:
三角形的中線的性質(zhì):三角形的中線等分三角形的面積,
即如圖1,AD是△ABC中BC邊上的中線,
S△ABD=S△ACD=
1
2
S△ABC

理由:∵BD=CD,∴S△ABD=
1
2
BD×AH=
1
2
CD×AH=S△ACD
=
1
2
S△ABC
,
即:等底同高的三角形面積相等.
操作與探索
在如圖2至圖4中,△ABC的面積為a.
(1)如圖2,延長△ABC的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA.若△ACD的面積為S1,則S1=
 
(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如圖3,延長△ABC的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若△DEC的面積為S2,則S2=
 
(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由;
(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖4).若陰影部分的面積為S3,則S3=
 
(用含a的代數(shù)式表示).
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拓展與應(yīng)用
如圖5,已知四邊形ABCD的面積是a,E、F、G、H分別是AB、BC、CD的中點,求圖中陰影部分的面積?精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知四邊形ABCD是菱形,G是線段CD上的任意一點時,連接BG交AC于F,過F作FH∥CD交BC于H,可以證明結(jié)論
FH
AB
=
FG
BG
成立.(考生不必證明)
(1)探究:如圖2,上述條件中,若G在CD的延長線上,其它條件不變時,其結(jié)論是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(2)計算:若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直線CD上,且CG=16,連接BG交AC所在的直線于F,過F作FH∥CD交BC所在的直線于H,求BG與FG的長.
(3)發(fā)現(xiàn):通過上述過程,你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時,結(jié)論
FH
AB
=
FG
BG
還成立嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xoy中,將面積為3的直角三角形AGO沿直線y=x翻折,得到三角形CHO,連接AC,已知反比例函數(shù)y=
kx
(x>0)
的圖象過A、C兩點,如圖①.
(1)k的值是
 
;
(2)在直線y=x圖象上任取一點D,作AB⊥AD,AC⊥CB,線段OD交AC于點F,交AB于點E,P為直線OD上一動點,連接PB、PC、CE.
㈠如圖②,已知點A的橫坐標(biāo)為1,當(dāng)四邊形AECD為正方形時,求三角形PBC的面積;
㈡如圖③,若已知四邊形PEBC為菱形,求證四邊形PBCD是平行四邊形;
㈢若D、P兩點均在直線y=x上運動,當(dāng)∠ADC=60°,且三角形PBC的周長最小時,請直接寫出三角形PBC與四邊形ABCD的面積之比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•太原一模)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點E,以點E為頂點作正方形EFGH,使點A、D分別在EH和EF上,連接BH、AF.
(1)判斷并說明BH和AF的數(shù)量關(guān)系;
(2)將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)θ(0°≤θ≤360°),設(shè)AB=a,EH=b,且a<2b.
①如圖2,連接AG,設(shè)AG=x,請直接寫出x的取值范圍;當(dāng)x取最大值時,直接寫出θ的值;
②如果四邊形ABDH是平行四邊形,請在備用圖中補全圖形,并求a與b的數(shù)量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,將已知四邊形分別在格點圖中補成關(guān)于已知直線:l、m、n、p為對稱軸的軸對稱的圖形.

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同步練習(xí)冊答案