Question

如圖，點B是半徑為6的⊙O上一點，過點B作一個30°的圓周角∠ABC，則由弦AB、BC和

AC

組成的圖形的面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,等邊三角形的判定與性質,圓周角定理,扇形面積的計算

專題：

分析：

AC

與弦AC圍成的弓形的面積一定，且弦AC的長度確定，因而當AC邊上的高最大時，弦AB、BC和

AC

組成的圖形的面積最大，此時△ABC中AB=BC，即B是優(yōu)弧ABC的中點，△ABC的面積加上弓形的面積即可求解．

解答：解：∵∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOC是等邊三角形，
則OD=

3

2

OA=3

3

，BD=6+3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×（6+3

3

）=3（6+3

3

）=18+9

3

，
S_△AOC=

3 ×62

4

=9

3

，S_扇形OAC=

60π×62

360

=6π，
∴弦AB、BC和

AC

組成的圖形的面積的最大值是：S_△ABC+S_△AOC-S_扇形OAC=18+9

3

+9

3

-6π=18+18

3

-6π．
故答案是：18+18

3

-6π．

點評：本題考查了扇形的面積的計算，等邊三角形的判定與性質，正確理解由弦AB、BC和

AC

組成的圖形的面積的最大值的條件是關鍵．