【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D在邊AB上,連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置,連接AE.
(1)求證:AB⊥AE;
(2)若BC2=ADAB,求證:四邊形ADCE為正方形.

【答案】
(1)證明:∵∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠B=∠BAC=45°,

∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置,

∴∠DCE=90°,CD=CE,

∵∠ACB=90°,

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD,

即∠BCD=∠ACE,

在△BCD和△ACE中

,

∴△BCD≌△ACE,

∴∠B=∠CAE=45°,

∴∠BAE=45°+45°=90°,

∴AB⊥AE;


(2)證明:∵BC2=ADAB,

而BC=AC,

∴AC2=ADAB,

∵∠DAC=∠CAB,

∴△DAC∽△CAB,

∴∠CDA=∠BCA=90°,

而∠DAE=90°,∠DCE=90°,

∴四邊形ADCE為矩形,

∵CD=CE,

∴四邊形ADCE為正方形.


【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90°,CD=CE,利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE,然后根據(jù)“SAS”可判斷△BCD≌△ACE,則∠B=∠CAE=45°,所以∠DAE=90°,即可得到結(jié)論;(2)由于BC=AC,則AC2=ADAB,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB,則∠CDA=∠BCA=90°,可判斷四邊形ADCE為矩形,利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形和正方形的判定方法,需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;先判定一個(gè)四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個(gè)四邊形是菱形,再判定出有一個(gè)角是直角才能得出正確答案.

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如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(a,0)(a>0),B(2,3),C(0,3).過原點(diǎn)O作直線l,使它經(jīng)過第一、三象限,直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,我們把這個(gè)操作過程記為FZ[θ,a].

(1)【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,則這個(gè)操作過程為FZ[ , ];
(2)【嘗試】
若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖2),求θ;

(3)經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上,求出a的值;若點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部,直接寫出a的取值范圍;
(4)【探究】
經(jīng)過FZ[θ,a]操作后,作直線CD交x軸于點(diǎn)G,交直線AB于點(diǎn)H,使得△ODG與△GAH是一對相似的等腰三角形,直接寫出FZ[θ,a].

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(1)計(jì)算: ;
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(1)請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo):;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO(點(diǎn)P不與A、O重合)上運(yùn)動至何處時(shí),線段OE的長有最大值,求出這個(gè)最大值;
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