Question

已知如圖，四邊形ABOC為矩形，AB=4，AC=6，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)與反比例函數(shù)交于D點(diǎn)，與x軸交于E點(diǎn)，且D為AC的中點(diǎn)．
①求點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
③在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBD的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PBD的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：①根據(jù)D為AC的中點(diǎn)且AC=6求得CD=3，根據(jù)AB=OC=4，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)全等三角形求得CE=AB=4，從而得到OE=8，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②利用待定系數(shù)法分別根據(jù)求得的點(diǎn)的坐標(biāo)求得一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可；
③因BD長(zhǎng)度固定，要使△PBD周長(zhǎng)最小，只需PB+PD最�。�作D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接BD′，交x軸于P點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短說(shuō)明存在P點(diǎn)．

解答：解：①∵AC=6，D為AC的中點(diǎn)，
∴CD=3，
∵AB=OC=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），
在△ABD與△ECD中，

∠A=∠DCE AD=CD ∠BDA=∠EDA

，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴CE=AB=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，0），
②∵OB=AC=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=k₁x+b，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)E，
∴

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x+6，
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k2

x

，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（4，3），
∴k₂=3×4=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

；
③△PBD中，BD恒等于10，要使△PBD周長(zhǎng)最小，即要使BP+PD最�。�
如圖，作D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連BD′交x軸于點(diǎn)P，連PD，此時(shí)，△PBD周長(zhǎng)最�。�
∵D（4，3），
∴D'（4，-3），
∴AB=4，AD′=9，
∴由勾股定理得BD′=

42+92

=

97

，
∵AD′∥BO，
∴△OBP∽△CD′P，
∴

PO

PC

=

PB

PD′

=

CD′

BO

，
即：

PO

PC

=

2

1

，
∵OC=4，
∴PO=

2

3

OC=

8

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

8

3

，0）．
此時(shí)△PBD的周長(zhǎng)為BD+BD′=5+

97

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，坐標(biāo)系內(nèi)求點(diǎn)的坐標(biāo)、利用作圖求最小值等知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，利用軸對(duì)稱(chēng)得出△PDB周長(zhǎng)最小時(shí)P的位置是解題關(guān)鍵．