已知如圖,四邊形ABOC為矩形,AB=4,AC=6,一次函數(shù)經(jīng)過B點與反比例函數(shù)交于D點,與x軸交于E點,且D為AC的中點.
①求點D和點E的坐標;
②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
③在x軸上是否存在點P,使△PBD的周長最�。咳舸嬖�,求出點P的坐標和△PBD的周長;若不存在,請說明理由.
分析:①根據(jù)D為AC的中點且AC=6求得CD=3,根據(jù)AB=OC=4,從而得到點D的坐標,然后根據(jù)全等三角形求得CE=AB=4,從而得到OE=8,進而得到點E的坐標;
②利用待定系數(shù)法分別根據(jù)求得的點的坐標求得一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可;
③因BD長度固定,要使△PBD周長最小,只需PB+PD最�。鱀關于x軸的對稱點D′,連接BD′,交x軸于P點,根據(jù)對稱性及兩點之間線段最短說明存在P點.
解答:解:①∵AC=6,D為AC的中點,
∴CD=3,
∵AB=OC=4,
∴點D的坐標為(4,3),
在△ABD與△ECD中,
∠A=∠DCE
AD=CD
∠BDA=∠EDA
,
∴△ABD≌△ECD(ASA),
∴CE=AB=4,
∴點E的坐標為(8,0),
②∵OB=AC=6,
∴點B的坐標為(0,6)
設一次函數(shù)的解析式為y=k1x+b,
∵經(jīng)過點B和點E,
b=6
8k+b=0

解得:
k=-
3
4
b=6
,
∴一次函數(shù)的解析式為y=-
3
4
x+6,
設反比例函數(shù)的解析式為y=
k2
x
,
∵經(jīng)過點D(4,3),
∴k2=3×4=12,
∴反比例函數(shù)的解析式為y=
12
x
;
③△PBD中,BD恒等于10,要使△PBD周長最小,即要使BP+PD最�。�
如圖,作D關于x軸對稱點D′,連BD′交x軸于點P,連PD,此時,△PBD周長最�。�
∵D(4,3),
∴D'(4,-3),
∴AB=4,AD′=9,
∴由勾股定理得BD′=
42+92
=
97
,
∵AD′∥BO,
∴△OBP∽△CD′P,
PO
PC
=
PB
PD′
=
CD′
BO
,
即:
PO
PC
=
2
1

∵OC=4,
∴PO=
2
3
OC=
8
3
,
∴點P的坐標為(
8
3
,0).
此時△PBD的周長為BD+BD′=5+
97
點評:本題考查了反比例函數(shù)的綜合應用,坐標系內求點的坐標、利用作圖求最小值等知識點,綜合性很強,利用軸對稱得出△PDB周長最小時P的位置是解題關鍵.
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